Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan

Yaitu kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan seperti  ; ≠ ; > ; ³ ; <  dan £. Menyelesaikan petidaksamaan artinya menentukan himpunan pengganti variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar.

A.    Pertidaksamaan linear

Pada dasarnya, menyelesaikan pertidaksamaan linear hampir sama dengan penyelesaian persamaan linear, tetapi yang membedakan adalah apabila kedua ruas dikali atau dibagi dengan dengan bilangan negatif yang sama maka tanda pertidaksamaan berubah

Contoh :

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x – 4 < 3x + 6

Jawab :

      x – 4 < 3x + 6

Û  x – 3x < 6 + 4

Û    – 2x < 10       

Û   x  > 5    kedua ruas dikali dengan    - 1/2

Jadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah { x │ x > 5, x Î R }

                           

B.     Pertidaksamaan kuadrat

Yaitu kalimat terbuka dalam bentuk kuadrat dan menggunakan tanda ketidaksamaan.

Langkah – langkah untuk mencari penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat tersebut adalah :

1. Ubahlah pertidaksamaan kuadrat tersebut menjadi bentuk persamaan kuadrat, dimana ruas kanan sama dengan nol.
2. Selesaikan dengan cara penyelesaian persamaan kuadrat.
3. Buatlah garis bilangan, dan letakan penyelesaian pada langkah 2 pada garis bilangan sebagai nilai pembuat nol.
4. Substitusikan sembarang nilai pada daerah pembuat nol, jika sesuai soal ( memenuhi pertidaksamaan) maka nilai tersebut merupakan daerah penyelesaian. ( daerah yang mempunyai tanda (+) berlaku untuk tanda ketidaksamaan > dan ³ , sedangkan daerah yang mempunyai tanda (–) berlaku untuk tanda ketidaksamaan < dan £ ).

Perlu diingat bahwa :

N  Jika selangnya tertutup, maka berlaku untuk tanda ketidaksamaan ³ dan £.

N  Jika selangnya terbuka, maka berlaku untuk tanda ketidaksamaan > dan <.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut :

1. x² – 2x – 8 £ 0
2. 2x² + x > 15

Jawab :

1.           x² – 2x – 8 £ 0

Û x² – 2x – 8 = 0

Û ( x – 4 )( x + 2 ) = 0

Û    x – 4 = 0 atau x + 2 = 0

Û    x ₁ = 4 atau  x ₂ = – 2

Substitusikan bilangan x = 0, maka diperoleh :

x² – 2x – 8 = (0)² – 2(0) – 8 = – 8 < 0

Sehingga untuk x = 0 maka pertidaksamaan kuadrat tersebut bernilai negatif

Jadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat tersebut adalah

{ x │– 2 £ x £ 4 , x Î R }

Soal latihan

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut :

1. 2x – 1 ³ 5x + 8
2. 3x – 1 £ x + 3
3. 0 < x + 1 < 4
4. – 4 £ 1 – 4x < 5
5. x² – 4x + 3 < 0
6. – 2x² + 5x + 3 ³ 0
7. x² – 4x + 4 > 0

8.      Diketahui persamaan kuadrat berikut x ² – (2p + 3)x + 3p = 0,dengan pÎ R, buktikan bahwa dua     akarnya selalu real dan berbeda untuk setiap pÎ R.

9.    Diketahui persamaan kuadrat berikut: x ² + (2p – 1)x + (p² – 2p + 3) = 0. Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat tersebut agar :

a.       Mempunyai dua akar nyata dan berbeda

b.      Mempunyai dua akar yang sama

c.       Tidak mempunyai akar – akar real.

10.  Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut :

a.           y = 6 – 5x

    y = x ²

b.          y = x + 3

    y = x² – 5x + 8

c.           y – x = 1

    x² + x – y = 0

11.  Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear berikut :

a.       4x + 3 £ 2x + 5

b.      1 + x ³ 3 – 3x

c.       x – 1 >  + 2

d.      1 < 2x – 1 £ 3

e.       – 1 £ 2 – 3x < 8

12.  Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat berikut :

a.       4x² + 5 £ 12x

b.      x £ 1 + 2x²

c.       ( x + 2 )( x – 3 ) > 0

d.      6 + x < x²

e.       3x² – 9x ³ x² – 4

13.  Carilah batas-batas nilai x agar grafik y=3x – 1 berada di atas grafik

y = x² – x + 2